Álgebra lineal: ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones

El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia los sistemas de ecuaciones lineales y las propiedades de los espacios vectoriales. Esta disciplina matemática es esencial en muchos campos de la ciencia, como la física, la ingeniería y la informática.

¿Qué son las ecuaciones lineales?

Las ecuaciones lineales son ecuaciones que involucran solamente variables con exponente 1. Por ejemplo, la ecuación x + y = 3 es una ecuación lineal, mientras que la ecuación x^2 + y = 3 no lo es. Las ecuaciones lineales pueden tener una o más variables, y pueden ser representadas en forma de matriz.

Para resolver una ecuación lineal, se deben despejar las variables para encontrar su valor. Por ejemplo, en la ecuación x + y = 3, si se sabe que y = 2, se puede despejar x para obtener x = 1.

¿Qué son los sistemas de ecuaciones lineales?

Los sistemas de ecuaciones lineales son un conjunto de ecuaciones lineales que se deben resolver simultáneamente. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 3
2x – y = 5

tiene dos ecuaciones y dos variables (x e y). Para resolver este sistema, se pueden utilizar diferentes métodos, como el método de sustitución o el método de eliminación.

En el método de sustitución, se despeja una variable en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra ecuación. Por ejemplo, en el sistema anterior se puede despejar y de la primera ecuación para obtener y = 3 – x, y luego sustituir en la segunda ecuación para obtener:

2x – (3 – x) = 5

Luego, se despeja x para obtener x = 4, y se sustituye en la primera ecuación para obtener y = -1. Por lo tanto, la solución del sistema es x = 4, y = -1.

En el método de eliminación, se multiplican las ecuaciones por un factor adecuado para eliminar una variable. Por ejemplo, en el sistema anterior se puede multiplicar la primera ecuación por 2 para obtener:

2x + 2y = 6

Luego, se resta la segunda ecuación de la primera para obtener:

3y = -1

Por lo tanto, la solución del sistema es y = -1/3, x = 4/3.

¿Qué son los espacios vectoriales?

Los espacios vectoriales son conjuntos de objetos llamados vectores que cumplen ciertas propiedades. Por ejemplo, el conjunto de los vectores en el plano (x,y) es un espacio vectorial, ya que se puede sumar y multiplicar por un escalar de manera que se conserven ciertas propiedades, como la asociatividad y la distributividad.

Una propiedad importante de los espacios vectoriales es que tienen una base, que es un conjunto de vectores que pueden ser combinados para producir cualquier otro vector del espacio. Por ejemplo, en el espacio vectorial de los vectores en el plano, la base puede ser {(1,0),(0,1)}.

Los espacios vectoriales son fundamentales en la física y la ingeniería, ya que se utilizan para modelar fenómenos como el movimiento de los cuerpos y la propagación de las ondas.