Geometría analítica: ecuaciones de la recta y el plano
Escrito por Ben Reina
Tecnólogo y apasionado por la ciencia
La geometría analítica es una rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de las figuras geométricas utilizando herramientas de álgebra y análisis matemático. En este artículo, nos enfocaremos en dos de los conceptos fundamentales de la geometría analítica: las ecuaciones de la recta y el plano.
¿Qué son las ecuaciones de la recta?
Las ecuaciones de la recta son una herramienta fundamental en la geometría analítica, ya que permiten describir la posición y dirección de una recta en un plano cartesiano. Una recta se puede describir de muchas formas, pero una de las más comunes es mediante su ecuación general:
Ax + By + C = 0
En esta ecuación, A, B y C son constantes que dependen de las características de la recta, mientras que x e y son las coordenadas de cualquier punto que pertenezca a ella. La ventaja de esta ecuación es que, al conocer los valores de A, B y C, podemos determinar de manera única la recta a la que corresponde.
Ecuación punto-pendiente
Otra forma común de describir una recta es mediante su ecuación punto-pendiente:
y – y0 = m(x – x0)
En esta ecuación, m es la pendiente de la recta, mientras que (x0, y0) es un punto conocido por el que pasa la recta. Al conocer la pendiente y un punto de la recta, podemos determinar su ecuación de manera única.
Ecuación de dos puntos
Por último, otra forma común de describir una recta es mediante su ecuación de dos puntos:
(y – y1) / (x – x1) = (y2 – y1) / (x2 – x1)
En esta ecuación, (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos conocidos por los que pasa la recta. Al conocer dos puntos de la recta, podemos determinar su ecuación de manera única.
¿Qué son las ecuaciones del plano?
Las ecuaciones del plano son una herramienta fundamental en la geometría analítica tridimensional, ya que permiten describir la posición y orientación de un plano en el espacio. Al igual que en el caso de las rectas, hay varias formas de describir un plano, pero una de las más comunes es mediante su ecuación general:
Ax + By + Cz + D = 0
En esta ecuación, A, B, C y D son constantes que dependen de las características del plano, mientras que x, y y z son las coordenadas de cualquier punto que pertenezca a él. La ventaja de esta ecuación es que, al conocer los valores de A, B, C y D, podemos determinar de manera única el plano a la que corresponde.
Otra forma común de describir un plano es mediante su ecuación punto-normal:
Ax + By + Cz = D
En esta ecuación, (A, B, C) es un vector normal al plano, mientras que (x, y, z) es un punto conocido por el que pasa el plano. Al conocer un punto y un vector normal del plano, podemos determinar su ecuación de manera única.
Ecuación de tres puntos
Por último, otra forma común de describir un plano es mediante su ecuación de tres puntos:
n · ((x – x1) x (x – x2)) = 0
En esta ecuación, (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3, z3) son tres puntos conocidos por los que pasa el plano, mientras que n es un vector normal al mismo. Al conocer tres puntos de un plano, podemos determinar su ecuación de manera única.
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