Álgebra abstracta: grupos, anillos y campos

Escrito por Ben Reina

Tecnólogo y apasionado por la ciencia

El álgebra abstracta es una rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de estructuras matemáticas abstractas. Estas estructuras son definidas mediante conjuntos con operaciones definidas en ellos. En el álgebra abstracta, se estudian tres estructuras fundamentales: grupos, anillos y campos. A continuación, profundizaremos en cada una de ellas.

¿Qué es un grupo?

Un grupo es una estructura matemática que consta de un conjunto y una operación binaria que cumple con cuatro propiedades: la propiedad asociativa, la existencia de un elemento neutro, la existencia de un inverso para cada elemento y la propiedad cerrada. La propiedad asociativa establece que la forma en que se agrupan los elementos de un grupo no afecta el resultado. La existencia de un elemento neutro significa que hay un elemento en el grupo que no cambia cuando se opera con otros elementos del mismo. La existencia de un inverso para cada elemento significa que para cada elemento del grupo existe otro elemento que, al operar con el primero, produce el elemento neutro. La propiedad cerrada significa que al operar dos elementos del grupo, el resultado siempre es otro elemento del grupo.

Ejemplo:

Un ejemplo de grupo es el grupo de números enteros bajo la operación de adición. El conjunto de números enteros satisface las cuatro propiedades mencionadas anteriormente. La propiedad asociativa se cumple porque el resultado de la adición no depende de la manera en que se agrupan los números enteros. El elemento neutro es el número cero, ya que cualquier número sumado con cero produce el mismo número. El inverso de cualquier número entero es el número negativo correspondiente. La propiedad cerrada se cumple porque la suma de dos números enteros siempre es otro número entero.

¿Qué es un anillo?

Un anillo es una estructura matemática que consta de un conjunto y dos operaciones binarias, la suma y la multiplicación, que cumplen con varias propiedades. La suma debe ser cerrada, es decir, la suma de dos elementos del anillo siempre produce otro elemento del anillo. La suma debe ser asociativa y conmutativa, es decir, la forma en que se agrupan y se ordenan los elementos de un anillo no afecta el resultado de la suma. Además, debe haber un elemento neutro para la suma, y para cada elemento del anillo debe existir un elemento opuesto que, al sumarse con el primero, produce el elemento neutro.

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La multiplicación también debe ser cerrada, asociativa y distributiva sobre la suma. Es decir, la forma en que se agrupan los elementos del anillo no afecta el resultado de la multiplicación. Además, debe haber un elemento neutro para la multiplicación, que se denota como 1, y para cada elemento del anillo que no sea cero debe existir un elemento inverso que, al multiplicarse con el primero, produce el elemento neutro.

Ejemplo:

Un ejemplo de anillo es el anillo de los números enteros, donde la suma y la multiplicación son las operaciones usuales. La suma es asociativa, conmutativa y tiene un elemento neutro (el número cero). Además, para cada número entero existe un elemento opuesto (el número negativo correspondiente). La multiplicación es asociativa, distributiva sobre la suma, tiene un elemento neutro (el número uno) y para cada número entero distinto de cero existe un inverso multiplicativo (el número recíproco correspondiente).

¿Qué es un campo?

Un campo es una estructura matemática que consta de un conjunto y dos operaciones binarias, la suma y la multiplicación, que cumplen con todas las propiedades del anillo y además, para cada elemento del campo que no sea cero, existe un inverso multiplicativo.

Ejemplo:

Un ejemplo de campo es el campo de los números reales, donde la suma y la multiplicación son las operaciones usuales. La suma y la multiplicación son asociativas, conmutativas, distributivas sobre la suma, tienen elementos neutros (el cero y el uno, respectivamente) y para cada número real distinto de cero existe un inverso multiplicativo (el número recíproco correspondiente).