Para quienes escuchasteis el episodio número cuarto y queréis profundizar un poco; y para quienes no lo oísteis y queréis conocer algo más sobre Fibonacci y el número o la sección de oro, habéis llegado a buen puerto (o eso espero).

Hablar de Fibonacci es sinónimo de remontarse a los años comprendidos entre 1170 y 1250, su nombre de pila era Leonardo de Pisa, pero adoptó el sobrenombre de Fibonacci por ser hijo de Bonacci (el apodo de su padre). Uno de los grandes aportes que realizó Fibonacci a las matemáticas fue la introducción de los números árabes o indios en la vida cotidiana, puesto que presentaban serias ventajas sobre el sistema de numeración romano (si dudáis del sistema posicional que utilizamos en la actualidad, probad a multiplicar MLXII por MDIX sin utilizar las cifras entre el 0 y el 9). Fibonacci escribió su Liber Abaci, cuya traducción sería algo así como el “Libro del Ábaco” o el “Libro del cálculo” en el cual se presentaba este nuevo sistema de numeración y sus diferentes aplicaciones al comercio, al cálculo y a otros ámbitos. Pero si hay algo por lo que todos conocemos a Fibonacci es por su sucesión de conejos, para quienes no la conocéis, pongámonos un poco en situación:

Un hombre puso una pareja de conejos en un corral vallado por todos los lados. ¿Cuántas parejas de conejos puede producir una pareja en un año si se supone que cada una engendra cada mes una nueva pareja, que a su vez deviene productiva a partir del segundo mes?

Este es un problema correspondiente a la tercera parte del “Liber Abaci” que dio pie a la sucesión de números correspondientes a la famosa sucesión de Fibonacci. Esta famosa secuencia es la siguiente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… y así sucesivamente podemos obtener un término únicamente sumando los dos términos anteriores. Sin embargo, aunque a primera vista la solución al problema de los conejos parezca algo aislado, guarda una gran relación con el crecimiento en la naturaleza y con un número muy peculiar.

El número al que nos referimos no puede ser otro sino φ≈1,61803398… conocido como número de oro, sección áurea, proporción divina. Si nos centramos en su expresión matemática φ=(1+√5)/2, podemos observar a primera vista que se trata de un número irracional como por ejemplo pi o el número e. Phi, el número áureo, se llama así en honor a Fidias puesto que este número aparece en gran cantidad de las proporciones de sus esculturas y sus monumentos arquitectónicos. Esta proporción a que nos referimos es la siguiente: dos números a y b están en proporción áurea cuando (a+b)/a=a/b=φ. Si consideramos ahora la ecuación de segundo grado resultante de sustituir a por x, y b por 1, llegamos a que x²-x-1=0; como cabe esperar, las soluciones de la ecuación son φ y el opuesto del inverso del número de oro, es decir, -1/φ.

Veamos ahora algunas curiosidades relacionadas con este número. La primera de ellas, sería su fuerte conexión con los pentágonos o los pentagramas.

En este primer caso, tenemos que b/a=φ.

En este caso los segmentos rojo y azul, azul y verde, y verde y violeta, cumplen la proporción de oro.

Asimismo, en la naturaleza y en el día a día podemos encontrar una gran cantidad de objetos, plantas y animales que cumplen la “divina proportione”. Sin embargo antes de pasar a observar algunos ejemplos, veamos cómo se construye un rectángulo áureo y en concreto la espiral de Durero o de Oro. El rectángulo áureo es aquel cuyos lados están en proporción áurea, es decir que el cociente a/b es exactamente igual a phi. Para construirlo os dejo una presentación que he encontrado navegando por la red que seguro os clarificará el proceso:

Bien, como habéis podido comprobar, la construcción del rectángulo áureo no es nada difícil con regla y compás. Pues bien, ahora ya estamos preparados para ver una larga tira de ejemplos de la aparición de este tipo de rectángulos en la vida cotidiana. Para empezar, la mayoría de tarjetas de crédito así como el DNI o el actual carnet de conducir tienen la forma de un rectángulo áureo pues son estos rectángulos los más armoniosos para la vista. Pero la cosa, obviamente no queda ahí, los paquetes de tabaco tienen también dicha forma, así como las relaciones rectangulares de algunas construcciones griegas como el Partenón. Además, podemos encontrar el número de oro en el cociente entre la altura de los triángulos de las caras de la Pirámide de Keops y el lado de la misma (el resultado es el doble del número áureo).

En el propio cuerpo humano “perfecto” asociado al Hombre de Vitrubio dibujado por Leonardo daVinci cumple la proporción áurea en diferentes aspectos como por ejemplo en la relación que hay entre la altura total del hombre y la altura hasta el ombligo. Además podemos encontrar la espiral de Durero o áurea en la concha de los moluscos como pueda ser el Nautilus al igual que en el crecimiento de las plantas.

Sin embargo, si había titulado la entrada como “Fibonacci y los conejos de oro” es por una razón, la gran relación que hay entre la sucesión del célebre matemático italiano y el número áureo. Para ilustrar esta relación os comentaré por encima algunos detalles significativos. En primer lugar, la gran relación que hay entre el crecimiento de las parejas de conejos y este peculiar número es que el cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión tiende al número áureo como podéis observar a continuación:

1  : 1   =  1
2  : 1   =  2
3  : 2   =  1´5
5  : 3   =  1´66666666
8  : 5   =  1´6
13 : 8   =  1´625
21 :13  =  1´6153846….
34 :21  =  1´6190476….
55 :34  =  1´6176471….
89 :55  =  1´6181818….

Por último, para no aturdiros más con todo lo relacionado con el número áureo os dejo un par de programas de Matlab (software de cálculo matemático) que nos sirven para dibujar la distribución de las pipas de girasol que mencioné en el episodio y ver cómo crecen en un sentido y en otro; y el segundo para ver todavía mejor cómo el cociente entre los términos de la sucesión de Fibonacci tiende al número áureo.

ANEXO 1: Pipas de girasol

n=input(‘Número de puntos: ‘);

x=0;
y=0;
r=0;
hold on;
plot(x,y,’*');

for i=1:n;
r=r+0.1;
x=r*cos(i*137.5*2*pi/360);
y=r*sin(i*137.5*2*pi/360);
hold on;
plot(x,y,’*');
end

ANEXO 2: Cociente de Fibonacci

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