Después de algún tiempo volvemos a ofreceros un nuevo vídeo, esta vez, vuelve a estar relacionado con el número de oro. En concreto, el vídeo corresponde a un fragmento de la película Donald en el pais de las Matematicas donde se explica el concepto de la proporción áurea y nos muestra algunos ejemplos de cómo este número aparece en la vida cotidiana.
Hace unos días, nuestro amigo Tito Eliatron nos contaba el siguiente chiste en su entrada Cómo sumar los naturales y no morir en el intento:
Esto es un número infinito de matemáticos que entran en un bar. El primero pide una cerveza. El segundo pide media cerveza. El tercero pide un cuarto de cerveza… Entonces el camarero dice:
- ¡Idiotas!
y les pone dos cervezas.
Este chiste, según algunos el peor chiste de matemáticas del mundo, necesitaría explicación para los no iniciados, aunque muchos de nosotros sí lo pillamos. Vamos a intentarlo.
Las progresiones aritméticas y geométricas son parte del currículo de Secundaria desde siempre, seguro que muchos de vosotros las recordáis. El caso que nos ocupa tiene que ver con estas últimas, pero no con este nombre sino con el nombre de series geométricas (progresión suele usarse cuando tenemos una cantidad finita de términos y serie cuando la cantidad es infinita, como va a ocurrir ahora).
Vamos a definir de forma rigurosa lo que es una serie geométrica:
Una serie geométrica es una expresión de la forma:
con
Este número real
se denomina razón de la serie.
Es decir, dicho en plan general, la suma de todas potencias naturales de un número real.
Bueno, ¿todas? Depende de dónde empiece la serie, es decir, depende del número que aparezca en la cajita que hay debajo del símbolo de suma. Lo más habitual es encontrarse el , pero puede aparecer cualquier número natural.
Para ver de forma más clara qué significa esto vamos a poner un par de ejemplos de serie geométrica:
El objetivo principal de este artículo es mostraros una forma de sumar esta serie. Es decir, una forma de calcular la suma de los infinitos términos de una serie geométrica. ¿Que cómo puede ser que se puedansumar infinitos números? Cosas del infinito, que ya sabemos que es un concepto bastante esquivo para la intuición.
Bueno, vamos al tema. Digamos que sólo podemos hablar de suma de una serie geométrica cuando el resultado de la misma sea un número real. En este tipo de serie esto solamente ocurre si y sólo si . En cualquier otro caso la serie no se puede sumar.
Inciso:
Estamos utilizando la forma tradicional y habitual de suma de series. En el post de Tito Eliatron enlazado al principio de esta entrada se comenta algo de otras formas de sumar series, y es muy posible que en Gaussianos hablemos de este tema más adelante.
Bien, vamos con la fórmula:
Veamos esto con un par de ejemplos:
Volvamos al chiste inicial. Vamos a reproducirlo de nuevo:
Esto es un número infinito de matemáticos que entran en un bar. El primero pide una cerveza. El segundo pide media cerveza. El tercero pide un cuarto de cerveza… Entonces el camarero dice:
- ¡Idiotas!
y les pone dos cervezas.
El primero pide una cerveza, el segundo media, el tercero un cuarto, y así sucesivamente. Si suponemos infinitos matemáticos entrando a ese bar y pidiendo fracciones de cerveza siguiendo esa tendencia tendríamos que en total piden la siguiente cantidad de cervezas:
Es decir, la cantidad total de cervezas es la suma de todas las potencias naturales de . O lo que es lo mismo, la siguiente serie geométrica:
Aplicando ahora la fórmula comentada anteriormente obtenemos el número de cervezas que pedirían entre todos estos infinitos matemáticos:
O sea que entre todos estos matemáticos habrán pedido cervezas. Por ello el camarero se adelanta y se las ofrece, ahorrándose así un tiempo infinito (que es el que habría tardado en atenderles).
¿Lo pilláis ahora?
Para quienes escuchasteis el episodio número cuarto y queréis profundizar un poco; y para quienes no lo oísteis y queréis conocer algo más sobre Fibonacci y el número o la sección de oro, habéis llegado a buen puerto (o eso espero).
Hablar de Fibonacci es sinónimo de remontarse a los años comprendidos entre 1170 y 1250, su nombre de pila era Leonardo de Pisa, pero adoptó el sobrenombre de Fibonacci por ser hijo de Bonacci (el apodo de su padre). Uno de los grandes aportes que realizó Fibonacci a las matemáticas fue la introducción de los números árabes o indios en la vida cotidiana, puesto que presentaban serias ventajas sobre el sistema de numeración romano (si dudáis del sistema posicional que utilizamos en la actualidad, probad a multiplicar MLXII por MDIX sin utilizar las cifras entre el 0 y el 9). Fibonacci escribió su Liber Abaci, cuya traducción sería algo así como el “Libro del Ábaco” o el “Libro del cálculo” en el cual se presentaba este nuevo sistema de numeración y sus diferentes aplicaciones al comercio, al cálculo y a otros ámbitos. Pero si hay algo por lo que todos conocemos a Fibonacci es por su sucesión de conejos, para quienes no la conocéis, pongámonos un poco en situación: Lee el resto de la entrada »
Estamos de nuevo para presentaros cuatro nuevos temas, tal y como ya os habíamos dicho en el episodio pi, sin mayor demora os dejamos con el guión del episodio. Recordad que tenéis una encuesta que votar y muchas fotos científicas que enviar.
Como viene siendo habitual, os dejamos con los audios para que los disfrutéis:
Ya sabéis que las vías de contacto son las habituales, el e-mail, los comentarios en el blog, las redes sociales (Facebook, Twitter y Tuenti) y ahora también en Flickr para que podáis adjuntar vuestras fotos y así conoceros.
Como ya comentamos en el episodio especial que bautizamos como π queremos que nos ayudéis un poco a mejorar en esto del podcasting. Queremos saber cómo os gustaría que fuese Ciencia Conjunta tanto en lo referente a la duración, como a la periodicidad y a la extensión o profundidad con que desarrollamos las secciones. Para ello lo hemos simplificado en la siguiente encuesta que os animamos a responder y así ver vuestras preferencias.
Cargando ...Con motivo de lo que ya os anunciábamos hace unos días, hemos creado un grupo de flickr para que todos podáis subir las fotos sin tener que enviarlas a nuestra dirección habitual. Si preferís podéis mandarlas por e-mail y nosotros las subiremos tanto a flickr como a la galería correspondiente del podcast. Os dejamos con el enlace para que accedáis facilmente: Ciencia Conjunta en Flickr.
Como ya sabéis, las imágenes han de ser hechas por vosotros y relacionadas con cualquier tema “de ciencias”: biología, física, matemáticas, medicina, ingenierías varias… Anímate y participa en la galería fotográfica de Ciencia Conjunta.
Aquí estamos de nuevo a falta de Iván, aprovechando un podcast más breve y distinto a lo que habéis escuchado hasta ahora donde leemos algunos de los correos que nos han llegado y avanzamos los contenidos del episodio #004 que grabaremos la semana que viene. Además os preguntamos qué formato de podcast queréis u os gustaría más a la hora de escuchar Ciencia Conjunta, os publicamos la encuesta a continuación:
Cargando ...Además os comentamos que estamos en facebook como podéis ver en el menú de la derecha y que nos gustaría que nos enviaseis fotos relacionadas con temas científicos para elaborar una galería de fotos e incluso organizar algún concurso fotográfico con vuestras instantáneas. Al final del episodio os ofrecemos tanto la promo de “la buhardilla 2.0” como la canción “Breathing inevitably” del grupo Garcells que es la sintonía de la intro y de la promo de Ciencia Conjunta. No nos enrollamos más y os dejamos con el episodio directamente.
Por culpa del volcán islandés que bien puede recordar a una posible estrategia de marketing de la serie Perdidos, nuestro compañero Héctor ha tenido que posponer su regreso a Leeds con lo que nos hemos visto obligados a retrasar la grabación del cuarto episodio de Ciencia Conjunta. Sin embargo, para que la espera no se haga tan pesada, os dejamos con una nueva entrega de ScienceTube. En esta ocasión el vídeo está relacionado con el tema de Superficies Minimales que Gabriel trató en el segundo episodio del podcast.
Esperemos que os haya servido para conocer algunas curiosidades más acerca del tema y esperamos poder volver a vuestros reproductores la semana que viene como muy tarde. Un saludo!!
Hace un par de semanas aproximadamente publicamos un vídeo que trataba brevemente el tema de los fractales y, ahora que ya hablé de ellos en el episodio #003 me dispongo a dedicarles una entrada para tratar el tema con un poco de profundidad.
Para quienes no sepáis qué es un fractal comenzaré diciendo que, a grandes rasgos, podríamos definirlo como un cuerpo autosemejante, es decir, que conserva su estructura a diferentes escalas. De una forma más cotidiana, un fractal cumple que si hacemos un zoom, a diferentes aumentos, seguiríamos viendo la misma imagen o una muy similar. Para ello os ilustraré con ejemplos más o menos conocidos.
En esta fotografía extraída de la página web “Matemàtiques i altres Sensibilitats” podemos ver cómo el Romanescu (una mezcla entre coliflor y brécol) cumple esa propiedad de autosemejanza. Otro ejemplo de fractales en la naturaleza serían por ejemplo las ramificaciones de los vasos sanguíneos o de los pulmones que lo aprovechan para poder repartir la sangre y el oxígeno de manera más eficiente a lo largo de nuestro cuerpo.
Pero el nombre de fractal no llegó hasta la década de los setenta cuando Mandelbrot le atribuyó dicho nombre. Sin embargo, los fractales son cuerpos y figuras matemáticas, con lo que a continuación os dejo algunos de los ejemplos más conocidos de fractales:
Aquí podemos observar las primeras iteraciones de la construcción de la curva de Peano y, en las siguientes imágenes, la formación del triángulo de Sierpinski y el copo de nieve de Koch respectivamente.
Con unas pocas iteraciones basta para hacernos una idea de cómo será el conjunto en sí, pues no dejan de ser iteraciones. Estas iteraciones surgen de tomar un SFI (Sistema de Funciones Iteradas), es decir, tomamos la figura, le aplicamos una serie de funciones y obtenemos así la figura siguiente. En el caso del copo de nieve de Koch, partimos de un triángulo, reducimos dicho triángulo tres veces y lo colocamos en los lados del triángulo original y así sucesivamente a lo largo de infinitas iteraciones. Así obtenemos una figura que llamaremos atractor del sistema y que será nuestro fractal.
Otros ejemplos serían el conjunto de Cantor o la curva de Hilbert, muy similar a la de Peano. En estas curvas (de Hilbert y Peano) nos centraremos a continuación pues son características por llenar una región del plano, en conreto, el cuadrado unidad. Esto quiere decir que el atractor de sus Sistemas de Funciones Iteradas correspondientes tienen por atractor el cuadrado [0,1]x[0,1]. Si lo miramos fríamente, hemos partido de una curva unidimensional y, realizando sucesivas iteraciones hemos acabado teniendo una figura bidimensional. Sería comparable a si tomamos un hilo muy fino y lo vamos doblando de forma que poco a poco vaya teniendo una cierta espesura, por ejemplo, las telas y tejidos que usamos no son más que un entramado de hilos muy juntos que van llenando una superficie. La gran diferencia entre la tela y la curva de Peano es que, si nos acercamos lo suficiente a la tela podríamos observar los huecos que quedan entre hilo e hilo mientras que la curva de Peano es un cuadrado totalmente relleno y sin huecos.
De esta “contradicción” que permitiría llenar con una curva unidimensional una sección del plano surge la idea de dimensión fractal que atribuye una dimensión de valor real, igual o superior a la dimensión topológica de la figura. Esta dimensión fractal nos permite medir el relieve o el nivel de accidentes de la costa o de la superficie planetaria, pudiendo afirmar así que como la dimensión de la superficie de marte es mayor que la terrestre, el terreno marciano será más accidentado que el de nuestro planeta. Así, podemos llegar a la conclusión de que un fractal es una figura/cuerpo cuya dimensión no es un número natural (por lo que las curvas de Peano y Hilbert no lo serían por tener dimensión 2).
Las primeras iteraciones de la curva de Hilbert.
Primeras iteraciones del conjunto de Cantor.
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